TURUNAN FUNGSI (LEBIH DARI 1 VARIABEL)

TURUNAN FUNGSI DUA VARIABEL

 

° Turunan Parsial.

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :
                1.  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.
                2 . y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 


Definisi

a. Turunan parsial terhadap variabel x
                     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi x, Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :







ii) Turunan parsial terhadap variabel y

      Jika  y  berubah-ubah  dan x  tertentu maka  z  merupakan fungsi
      y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :











a.       Fungsi dua peubah atau lebih

            Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.  Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Contoh:
1.      z = 2x + y

2.      xy + xz – yz = 0


a.      Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

  1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
  2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
  3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.
Definisi
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan 
 dan










Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:












. Differensial Total dan Turunan Total

membentuk turunan parsial  dan  ,perubahan  dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :
dz =
 jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :
dz =  disetiap titik (x,y) dari D
Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :
dw =
 Contoh
1.      tentukan dw  jika w =  !
penyelesaian :
dw =  dx +  dy -  dz
2.      radius dan tinggi sebuah silinder  lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran  .gunakan diferensial  total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.
Penyelesaian :
Diketahui : v =
r= 4 cm
h=10 cm
dr=dh =  0,05 cm
ditanya : dv = ?
jawab :
dv =  dr +  dh           
dv = 2  +  dh
subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm  dan dr =dh = sehingga menghasilkan  dv =2  (40) (  (
=

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit
Fungsi Implisit 4 Peubah
BU dinyatakan dengan





Atau ditulis dalam bentuk
F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0
dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Gambar
MATRIKS LANJUTAN II METODE SARRUS  Ciri khas metode ini adalah pola perkalian menyilang elemen matriks. Ciri khas ini juga dimiliki pola  Sarrus 4×4 , hanya saja dengan jumlah pola yang lebih banyak yaitu 3 pola. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini! Maka determinan matriks A, yaitu: Det A    =(-2)(3)(-8) + (4)(-7)(-1) + (-5)(1)(4) – ((-5)(3)(-1) + (-2)(-7)(4) + (4)(1)(-8)) Det A = (48 + 28 – 20) – (15 + 56 -32) = 56 – 39 = 17 Matriks 3×3 mempunyai sembilan elemen, jika salah satu atau beberapa elemennya bernilai nol. Maka, perhitungan determinan dengan cara sarrus akan sedikit lebih cepat. CONTOH SOAL METODE MINOR DAN KOFAKTOR Salah satu cara menentukan determinan matriks segi adalah denga minor-kofaktor elemen matriks tersebut. Cara ini dijelaskan sebagai berikut : Misalkan  A i j A i j  adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke- i  dan kolom ke- j  ...
Baca selengkapnya

MATRIKS LANJUTAN 3

Gambar
MATRIKS LANJUTAN 3 PERSAMAAN SIMULTAN Sistem Persamaan Linear 2 Variabel Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kali ini, idschool akan mengenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear (SPL) dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Selanjutnya, langsung ke langkah-langlah penyelesaian SPLDV yang dapat dilihat di bawah. Diketahui sistem persamaan linear dua peubah sebagai berikut.                  Dua persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu x dan y. Bentuk sistem di atas dalam matriks bisa dilihat pada persamaan di bawah.     Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketa...
Baca selengkapnya

Integral

Gambar
Integral merupakan bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau disebut invers dari operasi turunan dan limit dari jumlah ataupun suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian otu ada dua hal yang dilakukan dalam integral hingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Yaitu, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut juga sebagai  Integral Tak Tentu . Kedua, integral sebagai limit dari jumlah ataupun suatu luas daerah tertentu yang disebut  integral tentu . Integral Tak Tentu Integral tak tentu dalam bahasa Inggris biasa di kenal dengan nama  Indefinite Integral  ataupun kadang juga di sebut Antiderivatif yang merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan pada suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti hingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tidak tentu ini disebut integral tak tentu. Jika f berupa integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses memecahkan an...
Baca selengkapnya